Intérêt de la notation complexe

Imaginons un circuit contenant des dipôles linéaires passifs (résistances, inductances et condensateurs, mais pas de source). 

Si on l'alimente par une source sinusoïdale de pulsation , tous les courants et toutes les tensions seront sinusoïdaux à la même pulsation mais pas en phase.

Pour trouver le courant circulant dans une branche du circuit, il faut résoudre un système d'équations différentielles linéaires dont l'ordre est égal au nombre de dipôles introduisant une dérivation (nb d'inductances + nb de condensateurs).

Si la source s'écrit , le courant dans la branche qui nous intéresse sera du type Si on change l'origine des temps de façon à ce que l'expression de la source devienne , cela ne change ni l'amplitude du courant, ni son déphasage par rapport la tension.

Il s'écrira donc .

Comme les relations qui régissent le système sont du type "différentielles linéaires", à une combinaison linéaire des sources correspond la même combinaison linéaire des solutions.

Donc si au même système d'équations on applique :

la solution pour le courant dans la branche considérée est

Or , les grandeurs complexes présentent un énorme avantage : en régime sinusoïdal, les dérivations et les intégrations

sont remplacées par des multiplications et des divisions : en effet

et

Ainsi, l'utilisation des grandeurs complexes dans la résolution du système d'équations en régime sinusoïdal établi va permettre de remplacer un système d'équations différentielles linéaires par un système d'équations

linéaires complexes qui, malgré leur nom, sont beaucoup plus faciles à traiter .