Laplacien vectoriel

Opérateur du deuxième ordre noté \nabla^2  qui agit sur un champ vectoriel. Le laplacien vectoriel transforme un champ vectoriel en un autre champ vectoriel.

Source : Université en ligne Unisciel

Formules

Soit \overrightarrow V(M) un champ vectoriel, son laplacien est défini par la relation : \nabla^2\overrightarrow V(M)=\overrightarrow{grad}~[div~\overrightarrow V(M)]-\overrightarrow{rot}~[\overrightarrow{rot}~\overrightarrow V(M)]

Expression du laplacien vectoriel en repérage cartésien : \nabla^2\overrightarrow V=\left| \begin{array}{lc} \nabla^2V_x=\frac{\partial^2V_x}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V_x}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V_x}{\partial z^2} \\\\ \nabla^2V_y=\frac{\partial^2V_y}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V_y}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V_y}{\partial z^2} \\\\ \nabla^2V_z=\frac{\partial^2V_z}{\partial x^2}+\frac{\partial^2V_z}{\partial y^2}+\frac{\partial^2V_z}{\partial z^2}\end{array} \right.