Loi d'Ohm

Imaginons un conducteur cylindrique et homogène de section à l'intérieur duquel on crée un champ uniforme et axial :

Si est axial, les surfaces équipotentielles, qui sont perpendiculaires aux lignes de champ, sont donc des plans perpendiculaires à l'axe.

Soient et les potentiels des extrémités du conducteur. A l'intérieur, . Puisque est uniforme, l'est aussi. Le courant total vaut

est donc proportionnel à .

Le coefficient de proportionnalité est appelé la résistance et noté .

La résistance s'exprime en ohms. Elle vaut ici

avec

est appelée la résistivité . Elle s'exprime en .

La conductivité s'exprime en .

Prenons maintenant le cas général d'un conducteur homogène de forme quelconque.

En présence d'un champ électrique, il existe à l'intérieur des lignes de champ. Prenons un tube de champ élémentaire.

En tout point

Si on applique le théorème de Gauss à ce tube de champ élémentaire, on trouve que

Comme nous avons démontré précédemment que l'intérieur du conducteur avait une densité volumique de charge nulle, ce flux est nul. Donc

ce qui entraîne que

et que

donc que le courant qui circule dans un tube de champ élémentaire est constant. Soit ce courant. Si en un point la section du tube de champ élémentaire vaut ,

donc

Entre deux extrémités du tube de champ élémentaire, la différence de potentiel vaut

Là encore, est proportionnelle à .

Le coefficient de proportionnalité

est appelé la résistance du tube de courant élémentaire et noté . On a donc toujours

avec

Si on s'intéresse à tout le tube de courant limité par deux surfaces équipotentielles et , on le décompose en tubes de courant élémentaires, chacun d'eux étant traversé par un courant et présentant une résistance , et on calcule le courant total par

Là encore , est proportionnelle à :

avec

Ceci nous permet d'énoncer la loi d'Ohm : Pour une résistance morte,

Une résistance morte est un corps conducteur dans lequel la propagation des charges électriques est uniquement due à l'action d'un champ électrique sans aucun phénomène chimique ou magnétique. On dit que U est la chute ohmique de tension.