Régime propre
Lorsque le circuit
est court-circuité sur lui même,
.
![Circuit RLC série en régime libre](../res/RLC_regime_propre.png)
![](../res/math_80.png)
Posons
![](../res/math_81.png)
L'équation devient :
![](../res/math_82.png)
La solution de cette équation différentielle (voir cours de mathématiques) dépend du déterminant de l'équation caractéristique associée.
![](../res/math_83.png)
![](../res/math_84.png)
-
1er cas : Si
, les racines sont :
![](../res/math_85.png)
![](../res/math_86.png)
Dans ce cas, la solution générale de l'équation différentielle est
![](../res/math_87.png)
Cela suppose donc que
![](../res/math_88.png)
donc
![](../res/math_89.png)
Puisque la tension
vaut
![](../res/math_90.png)
le courant
s'écrit
![](../res/math_91.png)
Les quantités A et B dépendent des conditions initiales :
![](../res/math_92.png)
Ainsi, si on part d'un courant nul et d'une tension
, c'est-à-dire si on ferme sur lui-même un circuit
dont le condensateur possédait une charge initiale
et qui était au départ en circuit ouvert, nous aurons :
![](../res/math_93.png)
![](../res/math_94.png)
![](../res/math_95.png)
![](../res/math_96.png)
D'où
![](../res/math_97.png)
![](../res/math_98.png)
Ce type de fonctionnement est dit apériodique.
Les formes d'onde sont les suivantes :
Les premières courbes montrent l'évolution de la tension relative
en fonction du temps relatif
.
étant la période propre du circuit =
.
Elle a été tracée pour deux valeurs de a.
![Evolution de la tension pour différentes valeurs de "a".](../res/amorti_plusieurs_tension.png)
Les courbes suivantes montrent l'évolution du courant relatif
en fonction du temps relatif
.
Elle a été tracée pour les deux mêmes valeurs de a que précédemment.
![Evolution du courant pour différentes valeurs de "a".](../res/amorti_plusieurs_courant.png)
-
2ème cas : Si
, c'est-à-dire si
![](../res/math_99.png)
donc
![](../res/math_100.png)
alors, l'équation associée présente une racine double :
![](../res/math_101.png)
et la solution de l'équation différentielle est
![](../res/math_102.png)
![](../res/math_103.png)
Avec les mêmes conditions que précédemment, on obtient :
![](../res/math_104.png)
donc
![](../res/math_105.png)
d'où
![](../res/math_106.png)
![](../res/math_107.png)
Ce cas particulier est dit régime critique.
Les formes d'onde sont assez semblables à celles du régime précédent.
La première courbe montre l'évolution de la tension relative
en fonction du temps relatif
.
![Évolution de la tension.](../res/critique_tension.png)
La courbe suivante montre l'évolution du courant relatif
en fonction du temps relatif
.
![Evolution du courant.](../res/critique_courant.png)
-
3ème cas : Si
, c'est-à-dire si
![](../res/math_108.png)
donc
![](../res/math_109.png)
dans ce cas, la solution de l'équation différentielle est donnée par :
![](../res/math_110.png)
![](../res/math_111.png)
Désignons par
cette quantité.
![](../res/math_112.png)
![](../res/math_113.png)
ou
![](../res/math_114.png)
Ainsi, si à
,
et
, on obtient :
![](../res/math_115.png)
![](../res/math_116.png)
L'expression du courant est donc:
![](../res/math_117.png)
L'expression du courant est :
![](../res/math_118.png)
donc
![](../res/math_119.png)
Le courant et la tension subissent donc des évolutions sinusoïdales avec amortissement exponentiel.
La pulsation de ces oscillations vaut
![](../res/math_120.png)
et l'amortissement exponentiel est en
.
Ce fonctionnement est dit régime sinusoïdal amorti.
Le circuit est dit oscillant.
est appelée pulsation de résonance ou pulsation propre du circuit oscillant.
Les formes d'onde sont indiquées ci-après
La première courbe montre l'évolution de la tension relative
en fonction du temps relatif
.
![Evolution de la tension.](../res/oscillant_tension.png)
La courbe suivante montre l'évolution du courant relatif
en fonction du temps relatif
.
![Evolution du courant.](../res/oscillant_courant.png)