Comportement magnétique d'une bobine torique

Le problème présente une symétrie de révolution autour de l'axe .

La solution présente donc la même symétrie. Les lignes de champ ne peuvent être que des cercles d'axe .

Le champ en tout point est donc tangent au cercle d'axe passant par .

Pour calculer le module de ce champ , il est très simple d'appliquer le théorème d'Ampère. Le contour idéal est bien sûr ce cercle que nous venons d'évoquer puisqu'en tout point, sera tangentiel et de module constant. Si le rayon de ce cercle est , son périmètre vaut et la circulation de sur ce parcours est égale à .

Si le cercle est à l'extérieur du tore, il n'encercle aucun courant, ou encore, la somme des courants qu'il encercle est nulle. Le seul cas où la somme des courants encerclés n'est pas nulle est celui où le

cercle passe à l'intérieur du rectangle qui définit le tore.

Dans ce cas, le contour encercle un courant égal à .

Il reste à préciser le signe. Sur la figure, nous avons choisi un sens arbitraire pour . Dans ces conditions, le signe des courants à prendre en compte pour appliquer le théorème d'Ampère est défini par la règle du tire-bouchons : ce sont donc les courants se dirigeant vers le haut.

Si, dans les spires, le courant circule dans le sens indiqué sur la figure, il faudra mettre le signe moins.

Nous aurons donc

1 ) L'intérieur du tore est vide.

Puisque le milieu est le vide ou l'air,

On voit donc que et sont en réalité dirigés dans l'autre sens.

Comme ceci ,

Il n'existe donc aucun champ magnétique en dehors du tore.

Pour quelle valeur du courant atteindra t-on 1 Tesla ?

Le flux de dans la section du tore se calcule par intégration : à la distance de l'axe,

Donc, sur une largeur , le flux vaut

Par intégration, de variant de à ,

Comme

on voit que est maximale vers le centre, soit pour

On atteindra si

Chaque spire du bobinage est traversé par ce flux

Donc le circuit complet est traversé fois par ce flux, donc par un flux total :

Ceci montre que

Lorsque le courant varie, le flux varie et il est induit dans le circuit une fem e. Exprimez cette fem.

Le calcul de est inchangé .

Par contre,

dans l'air reste égal à

dans le fer,

Par intégration, dans le fer , on va trouver

Dans l'air,

Il apparaît donc que

On commet donc une erreur très faible si l'on considère que le flux total est quasiment égal à

On a alors

Le flux total coupé par le circuit complet est égal à

L'inductance du circuit vaut maintenant

L'induction est maximale vers le centre du tore en fer, soit pour

Elle vaut si