Chapitre 2 : Notions de métrologie

Dans les deux paragraphes précédents, le mesurage était réalisé de façon directe. Cependant, la pratique conduit souvent à déterminer la valeur d'une grandeur de façon indirecte. Par exemple, on souhaite déterminer la valeur d'une grandeur Z qui dépends de deux autres grandeurs X et Y selon une fonction connue : Z = f(X;Y); on obtient les valeurs de X et Y par mesurage direct, ainsi que les incertitudes associées. On peut alors calculer la valeur de Z grâce à la fonction f, et on calculera l'incertitude associée à partir des incertitudes sur X et Y.

Pour réaliser ce calcul d'incertitude, on utilise la loi de propagation des incertitudes. La loi de propagation de l'incertitude repose sur le modèle mathématique reliant la grandeur à déterminer aux grandeurs mesurées :

Y = f (X1, X2, X3, ..., Xn)

où Y est la grandeur à déterminer, les X_i sont les N grandeurs mesurées et f une fonction mathématique plus ou moins complexe.

De petites variations des grandeurs mesurées, dX₁, dX₂, dX₃, ... , dX_n, entraînent une petite variation dY telle que:

\(dY=\frac{\partial f}{\partial {{X}_{1}}}d{{X}_{1}}+\frac{\partial f}{\partial {{X}_{2}}}d{{X}_{2}}+\frac{\partial f}{\partial {{X}_{3}}}d{{X}_{3}}+\ldots +\frac{\partial f}{\partial {{X}_{n}}}d{{X}_{n}}\)

Les termes\( \frac{\partial f}{\partial {{X}_{i}}}\) sont appelés coefficients de sensibilité. Ils caractérisent l'ampleur de l'influence d'une variable sur la grandeur à déterminer. Ils sont donc très utiles pour identifier les variables qui affectent le plus la grandeur à déterminer.

D'un point de vue mathématique, dY est appelée « différentielle de Y », et les termes \(\frac{\partial f}{\partial {{X}_{i}}}\) sont appelés « dérivées partielles de la fonction f par rapport à la variable Xi ». Pour obtenir ces termes, il faut connaître l'expression de la fonction f(X₁, X₂, X₃, ... X_n). Le calcul à réaliser pour chaque dérivée partielle \(\frac{\partial f}{\partial {{X}_{i}}}\) consiste à dériver la fonction f en considérant que la seule variable présente est X_i, tous les autres termes X_j \((j\ne i)\) étant considérés comme des constantes.

A partir de cette étape, deux méthodes peuvent être utilisées pour obtenir la loi de propagation de l'incertitude:

• calcul de l'incertitude maximale;

• calcul de l'incertitude-type.

L'incertitude maximale est simplement obtenue en convertissant l'équation aux différentielles en une somme de termes positifs afin d'éviter toute compensation de l'influence de l'erreur sur une variable par celle d'une autre. Lors de cette étape, les différentielles "d" sont remplacées par le symbole "Δ" pour bien indiquer qu'il s'agit maintenant d'une équation d'incertitude:

\(\Delta Y=\left| \frac{\partial f}{\partial {{X}_{1}}} \right|\Delta {{X}_{1}}+\left| \frac{\partial f}{\partial {{X}_{2}}} \right|\Delta {{X}_{2}}+\left| \frac{\partial f}{\partial {{X}_{3}}} \right|\Delta {{X}_{3}}+\ldots +\left| \frac{\partial f}{\partial {{X}_{n}}} \right|\Delta {{X}_{n}}\)

Cette méthode maximise l'incertitude car elle ne permet aucune compensation d'erreurs.

Le calcul de l'incertitude-type permet d'obtenir une incertitude plus réaliste (en permettant en particulier la compensation des erreurs) mais nécessite de connaître le degré de corrélations entre les grandeurs X_i. Deux cas se présentent:

• il n'existe aucune corrélation entre les grandeurs Xi;

• il existe des corrélations entre les grandeurs X1.

1. Aucune corrélation entre les grandeurs Xi

   Dans ce cas, l'incertitude-type est égale à la racine carrée de la somme quadratique des termes de l'équation aux différentielles :

   \(\Delta Y=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{(\frac{\partial f}{\partial {{X}_{i}}})}^{2}}{{(\Delta {{X}_{i}})}^{2}}}}\)

2. Existence de corrélation(s)

   Dans ce cas, des termes de covariance doivent être ajoutés et l'équation de l'incertitude-type est la suivante:

   \(\Delta Y=\sqrt{\sum\limits_{i=1}^{n}{{{(\frac{\partial f}{\partial {{X}_{i}}})}^{2}}{{(\Delta {{X}_{i}})}^{2}}+2\sum\limits_{i=1}^{n-1}{\sum\limits_{j=i+1}^{n}{\frac{\partial f}{\partial {{X}_{i}}}\frac{\partial f}{\partial {{X}_{j}}}\Delta ({{X}_{i}}{{X}_{j}})}}}}\)

   La difficulté d'utiliser cette équation réside dans la difficulté de déterminer les termes Δ(X_i,X_j). Plusieurs méthodes existent (norme NF ENV 13005).