Exemple de détermination de l'incertitude maximale
La pression P d'un gaz, se comportant comme un gaz parfait, peut être calculée à partir des mesures de la température T, du volume V et du nombre de mole n grâce à la relation suivante :
P V = n RT
où R est la constante des gaz parfaits.
Supposons que le volume soit la grandeur que l'on désire quantifier à l'aide de mesures expérimentales. Les résultats du mesurage sont présentés dans le tableau ci-dessous.
Mesurande | Incertitude de l'appareil de mesure | Valeur du mesurande |
|---|---|---|
Nombre de mole n | ± 0,1% | 1 mol |
Température T | ± 0,1 K | 298,15 K |
Pression P | ± 10 hPa | 1000 hPa |
L'incertitude sur la valeur de la constante des gaz parfaits est supposée nulle (R = 8,314 J.mol-1.K-1).
Question : Quelle est la valeur du volume correspondant à ce mesurage et l'incertitude associée ?
Réponse:
La valeur du volume est donnée par le calcul suivant:
\(V=\frac{nRT}{P}=\frac{1\times 8,314\times 298,15}{{{10}^{5}}}=0,0248\ {{m}^{3}}\)
Le volume est donc égal à 0,0248 m3 soit encore 24,8 litres.
Expression de l'incertitude par différenciation directe (incertitude maximale):
La différenciation de l'équation de calcul du volume conduit à l'équation suivante:
\(dV=\frac{\partial V}{\partial T}dT+\frac{\partial V}{\partial n}dn+\frac{\partial V}{\partial P}dP\)
Avec :
\(\frac{\partial V}{\partial T}=\frac{nR}{P}\)
\(\frac{\partial V}{\partial n}=\frac{RT}{P}\)
\(\frac{\partial V}{\partial P}=-\frac{nRT}{{{P}^{2}}}\)
On trouve alors l'expression suivante de la différentielle de V :
\(dV=\frac{nR}{P}dT+\frac{RT}{P}dn-\frac{nRT}{{{P}^{2}}}dP\)
L'équation d'incertitude est donc la suivante:
\(\Delta V=\left| \frac{nR}{P} \right|\Delta T+\left| \frac{RT}{P} \right|\Delta n+\left| -\frac{nRT}{{{P}^{2}}} \right|\Delta P\)
Soit :
\(\Delta V=\frac{nR}{P}\Delta T+\frac{RT}{P}\Delta n+\frac{nRT}{{{P}^{2}}}\Delta P\)
On peut ensuite déterminer l'incertitude relative sur V:
\(\frac{\Delta V}{V}=\frac{nR}{PV}\Delta T+\frac{RT}{PV}\Delta n+\frac{nRT}{V{{P}^{2}}}\Delta P\)
Et comme \(V=\frac{nRT}{P}\), on obtient :
\(\frac{\Delta V}{V}=\frac{nRP}{PnRT}\Delta T+\frac{RTP}{PnRT}\Delta n+\frac{nRTP}{nRT{{P}^{2}}}\Delta P=\frac{\Delta T}{T}+\frac{\Delta n}{n}+\frac{\Delta P}{P}\)
Cette équation aurait pu être déterminée plus rapidement en passant par les logarithmes tel que montré ci-dessous.
Expression de l'incertitude par différenciation après passage aux logarithmes :
Le passage au logarithme conduit à l'équation suivante:
\(\ln V=\ln n+\ln R+\ln T-\ln P\)
La différenciation de cette équation conduit à l'équation suivante (on se base sur le fait que la différentielle d'une somme est la somme des différentielles de chaque terme):
\(\frac{dV}{V}=\frac{dT}{T}+\frac{dn}{n}-\frac{dP}{P}\)
Le passage aux incertitudes donne directement l'équation:
\(\frac{\Delta V}{V}=\frac{\Delta T}{T}+\frac{\Delta n}{n}+\frac{\Delta P}{P}\)
Il peut donc être remarqué que, pour ce cas particulier, le calcul est plus aisé en passant par les logarithmes (mais ce n'est pas toujours le cas).
Dès lors, numériquement, l'incertitude sur la détermination du volume est donnée par l'équation suivante:
\(\frac{\Delta V}{V}=\frac{0,1}{298,15}+\frac{0,1}{100}+\frac{1}{100}={{1,13.10}^{-2}}=1,13%\)
Le résultat de la mesure expérimentale du volume accompagnée de l'incertitude maximale est :
V = 24, 8litres ± 1,1 % ou encore: V = 24,8 ± 0, 3litres
Remarque :
Il faut porter une attention particulière à la cohérence entre les nombres de décimales de la valeur du mesurande et celui de l'incertitude absolue: les deux valeurs numériques doivent avoir le même nombre de décimales.
Outre la détermination de l'incertitude sur le volume, le calcul d'incertitude permet d'identifier le mesurande qui contribue principalement à cette incertitude. Il suffit en effet de comparer les termes de l'équation d'incertitude. On remarque dans l'exemple ci-dessus que l'incertitude est principalement causée par l'incertitude sur la mesure de la pression, qui contribue pour près de 90% à l'incertitude totale. Il en résulte que si l'on veut améliorer la précision de la mesure, il faut agir sur la précision de la mesure de la pression prioritairement.
En ne supposant aucune corrélation entre P, T et n, la loi de propagation de l'incertitude-type est donnée par l'équation suivante:
\(\frac{\Delta V}{V}=\sqrt{{{\left( \frac{\Delta T}{T} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\Delta n}{n} \right)}^{2}}+{{\left( \frac{\Delta P}{P} \right)}^{2}}}\)
Suite à l'application numérique, le résultat de la mesure accompagnée de l'incertitude-type est:
V = 24, 8litres ± 1,0% ou encore: V = 24,8 ± 0, 2 litres
On remarque en effet que l'incertitude-type est plus petite que l'incertitude maximale, même si l'écart n'est pas, dans ce cas précis, spectaculaire.
L'incertitude absolue sur la somme ou la différence de 2 grandeurs est la somme des incertitudes absolues des grandeurs.
Δx = Δa + Δb pour x= a + b, ou x = a – b
Δ(a + b) = Δa + Δb
Δ(a – b) = Δa + Δb
pour x= a + b + c :
Δx = Δa + Δb + Δc \(\frac{\Delta \text{x}}{\text{x}}\text{ }=\text{ }\frac{\Delta \text{a }+\Delta \text{b }+\text{ }\Delta \text{c}}{\text{a }+\text{ b }+\text{ c}}\)
pour x = a – b :
Δx = Δa + Δb \( \frac{\Delta \text{x}}{\text{x}}\text{ }=\text{ }\frac{\Delta \text{a }+\Delta \text{b}}{\text{a }-\text{ b}}\)
L'incertitude relative sur un produit de puissances (positives ou négatives) de 2 grandeurs est la somme des incertitudes relatives sur les grandeurs multipliées par la valeur absolue de l'exposant.
\(\frac{\Delta \text{x}}{\text{x}}\text{ }=\text{ }\frac{\Delta \text{a}}{\text{a}}\text{ }+\text{ }\frac{\Delta \text{b}}{\text{b}}\) pour x = a.b ou x = a/b
\(\frac{\Delta ({{a}^{\alpha }}{{b}^{\beta }})}{{{a}^{\alpha }}{{b}^{\beta }}}=\left| \alpha \right|\frac{\Delta a}{a}+\left| \beta \right|\frac{\Delta b}{b}\)
NB : vous pouvez vous exercer à retrouver ces relations en écrivant les différentielles associées à chaque cas