Problème à symétrie axiale
Question
Calculez le champ et le potentiel créés en tout point de l'espace par un tube portant une charge uniformément répartie à sa surface extérieure
. Sa longueur est supposée infinie.
Le problème présente une symétrie évidente
le champ électrique
en tout point ne peut qu'être perpendiculaire à l'axe du tube et son module ne peut dépendre que de la distance à l'axe :
.
La meilleure méthode pour calculer
est l'application du théorème de Gauss.
Comme surface de Gauss, on choisit un cylindre coaxial au tube et dont les extrémités sont perpendiculaires à l'axe.
Ainsi, sur les extrémités du cylindre,
est parallèle à la surface et le flux correspondant est nul.
Par contre, sur les parois du cylindre,
est perpendiculaire à la surface de Gauss et son module est constant.
Donc
¥ Si M est à l'intérieur du tube, la surface de Gauss ne contient aucune charge.
Donc
¥ Si M est sur la surface du tube
alors les charges du tube sont situées sur la surface de Gauss.
Dans ce cas, l'application du théorème de Gauss nous donne :
Le potentiel est calculé par application de sa définition
Si on cherche le potentiel absolu (
à l'infini) on calculera
en
par :
On voit qu'on arrive à une difficulté : c'est normal car on a par hypothèse des charges à l'infini.
On ne peut donc pas supposer que le potentiel y est nul.
Il serait préférable par exemple de fixer un potentiel arbitraire à une distance
et de calculer ensuite le potentiel en un point
par différence :
Si on veut, on peut aussi prendre comme origine des potentiels l'axe du tube.
On aura alors, à l'intérieur,
et à l'extérieur,
